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カルダノの解法……?

372 :132人目の素数さん:2009/10/16(金) 22:03:08 ID:
2つの2次曲線C1 C2 の交点のうちx座標を4つ求めよ。
C1: 10 x y - 11 x + 2 y =0
C2: -45 - 25 x + 22 x^2 - 25 y + 18 x y - 4 y^2 =0

C1は分数で、C2は双曲線です。交点は
2
-9/55
-1 - 1/2 Sqrt[3]
-1 + 1/2 Sqrt[3]
です。x,yどちらか消して計算を続ければなんとなく出そうな気がしますが、次曲線の交点はどうやって出すのでしょうか。
410 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 00:59:43 ID:
>>372ですが、yを消去するために普通に代入すると4次式が出てくるのですが複2次式ではないので解けません。
代数的に解くやり方はないのでしょうか。
411 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 01:12:52 ID:
>>410
狼さん(Wolfram)に聞いてみ
412 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 01:17:29 ID:
コンピュータを使ったり近似的なものを求めているのではありません。
yを消す方針だと4次式がでるので避けたかったのですがやはり代数的な解法はないのでしょうか。
413 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 01:32:41 ID:
Wolframalphaなら実際に在ったら解いてくれるんだから代数的に解けるかどうかも分るだろうに
421 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 10:09:21 ID:
>>410
>2
>-9/55
>-1 - 1/2 Sqrt[3]
>-1 + 1/2 Sqrt[3]

4つでこれなら
x=2を入れたら0になる(因数定理)で(x-2)で括れる。
(55x+9)でも括れる
x^2 + 2x +(1/4)でも括れる。
422 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 13:09:39 ID:
>>421
3次方程式も研究中なのですが、4次方程式の方がより難解なのでしょうか?
ただ3次方程式は高校レベルの数学は完全に理解してないと難しいのですよね。
4次方程式はネットでも具体的な解説はあまりなく奇数項 x^1, x^3 が出てくるととたんに難しくなります。
423 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 13:23:32 ID:
>>422
フェラリやカルダノくらい(他にもあるけど)ググレばいくらでも解説出てくるだろ。
碌に調べもせずに研究とかアホか?
424 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 13:29:12 ID:
>>422
高校レベルの数学も知らずに研究ってのはちょっとあり得ないかな(ウフフ
一般の4次方程式と3次方程式を比べるなら
3次方程式を知らずに4次方程式は解けない。
ただし、今回のような特定の方程式の場合は
そこまで難しいとかはない。
因数定理2回で決着が付くのだしな。
425 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 13:45:32 ID:
高校レベルというか、オメガとか普通に使えるんですけど…
オメガは複素数と複素数平面を熟知し方程式の根の関係(とくに(x+I y)^(1/n), abs[z] !=1)を理解してないとちゃんと使えませんよ。
3次式を解こうとしたら4次式(複2次や対称式でない)のがでてくるので循環論法になってしまいますし。
このまま楕円曲線に突き進むのも面白いかと思ってたんですけど、専門でもないし興味でやってただけなのでどうでもいいですけど。
方程式の1から4次までは代数で解けけるので幾何学の真髄というか数学のよっぽど面白いところだと思うんですけどね。
435 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 15:33:34 ID:
複素数なんかあたりまえのようにでてくるから難しいですよね。
高校では複素数平面は消えちゃいましたし、複素数は工学部系じゃないと無理でしょうか。
例えば、-44 + 117 I の3乗根つまり
z^3 = -44 + 117 I を満たす3つの根(z123)を求めよ。
なんか瞬時に解けないといけませんし。とくに数値的ではなく代数的(理論的)に。
こういう問題なんかを瞬時に解けるようになるには、高校数学を完全に習得してないと難しいでしょう。
439 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 16:34:12 ID:
なんか勘違いしてるようですけど、>>372で簡単に指摘してありますがy消去の方針だと

2つの2次曲線C1 C2 の交点のうちx座標を4つ求めよ。
C1: 10 x y - 11 x + 2 y =0
C2: -45 - 25 x + 22 x^2 - 25 y + 18 x y - 4 y^2 =0

は4次方程式となるので、
-90 - 1225 x - 4125 x^2 + 180 x^3 + 1100 x^4
が現れてx^3, x^1の項があるので解けないので、y消去以外で解くにはどうするのでしょうかということなんですけど。
2次曲線は高校ではほとんどやらず、大学でも専門分野に進まないとちゃんと体系だってやらないから難しいですよね。
441 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 16:42:25 ID:
>>439
解けるだろ、因数が分ってるんだから。
442 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 16:44:08 ID:
因数定理なんて高校でやるレベルの超基本事項がわかってないくせに
>>440みたいなへんな自身は何処からくんの?
基礎的なことくらいちゃんと押さえてから偉そうにしてくれよ
448 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 16:57:27 ID:
>>439
-90 - 1225 x - 4125 x^2 + 180 x^3 + 1100 x^4 = 0

この4次方程式は高校の範囲で解けるよ。
高校の参考書で因数定理の所をしっかり読んでみればいい。
2 と -9/55 もすぐに見つかる
471 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 19:12:49 ID:
>>372

 C1 から x+y = x(10x+13)/(10x+2),
これを
C2: -45 + (x+y){26x -4(x+y) -25} = 0,
に代入する。
472 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 19:49:04 ID:
>>471
なるほどカルダノですか。
-90 - 1225 x - 4125 x^2 + 180 x^3 + 1100 x^4
と結局同じ4次式なのでx+yをおいてもまったく役に立ちませんが、考え方は面白いです。
知ってのとおり因数定理や除法定理もあって実際は根が一つ見つかればいいので、計算(変形)はy消去の方針ではなくて別の方法でもいいんですよ。
473 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 19:59:21 ID:
まったくカルダノではない件
476 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 20:24:44 ID:
>>472
>なるほどカルダノですか。

フイタwww 腹痛いwww
501 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 23:20:50 ID:
z^2 = 3+4i
を満たすzはどうやってとくのでしょうか。
502 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 23:23:34 ID:
z=a+bi (a,b実数)とおいてあとは気合。
503 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 23:24:08 ID:
>>501
(2+i)^2 = 3+4i
だからz = ±(2+i)
511 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 23:35:26 ID:
>>503
もしかしてそれ、山勘で2,1をみつけたとかじゃないですよね?
因数定理ならまだ理論的ですけど…

>>507
あの、どうでもいいんで複素数の2乗根を解いてもらえませんか?
これもあのへんとかこのへんとかいろいろとか慣れてないと難しいんでしょうけど・・・
521 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 23:49:40 ID:
気合とか言う人もいるし、このスレでは複素数の2乗根すら解けないんですか。
現役高校生でも難関大学の入試問題なら複素数の2乗根ぐらいはとかせる問題があるからしってるんじゃないですかね。
このスレは問題を解いてない人がいかに多いかってことがよく分かりますね。
しかし複素数の2乗根を解く必要がなく議論を進められるなんてなんて楽な環境なんてお気楽なお花畑な人たちなんだ・・・
524 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 23:51:33 ID:
>>521
とっくに解けてるじゃん?
カルダノつかえば。
525 :502:2009/10/17(土) 23:52:21 ID:
>>521
じゃあ、あんたが解いたらいいじゃん。
527 :132人目の素数さん:2009/10/17(土) 23:57:41 ID:
>>521
こんな一目ですぐ分かるような問題を
どのように遠回りしてめんどくさい計算を重ねて解くのか教えてください(^p^

なるほどカルダノですか。

ちなみにカルダノはこの後多少流行ってます。

転載元:分からない問題はここに書いてね322

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