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収束に定義なんてないが…大丈夫か?w

940 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 16:40:52 ID:
実数の連続性を用いて、上に有界な単調増加数列が収束することを証明するとき、
実数の連続性がどのように本質的に用いられているのかよくわかりません。
実数の連続性:実数Rの任意の空でない上に有界な部分集合AはRの中に上限supAを持つ
有理数を考えていたとしても、上に有界な単調増加数列は収束すると思うのですが・・・?
941 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 16:50:32 ID:
>>940
無理数に収束する場合は
有理数だけで収束性を論じられないよ。
942 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 16:56:55 ID:
>>941
そう、それがまさによくわからないんですね・・・
有理数列(a_n)が無理数αに(実数上で)収束するとする。
これを有理数上で考えた場合、確かに収束先のαは存在しないけれども、
数列(a_n)は収束すると思うのです。
それとも、収束するという場合は必ず「αという数に収束する」と明示しなければならないのでしょうか。
943 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 16:59:20 ID:
>>942
はいそうです。つまり
> 収束先のαは存在しないけれども、
> 数列(a_n)は収束すると思うのです。
というのは数列が収束するという定義に反します。
収束先が無い数列は収束しません。
946 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 18:39:43 ID:
>>942
それはあなたが「実数」を知ってるから収束するように思えるわけだよね
仮に、有理数のみの世界に住んでいる、実数を全く知らない「有理数人」が居たら
有理数人から見るとその数列は収束するなんてどう考えても思えないわけだ

どこの「世界」で考えるか、というのはかなり重要。
実数の世界で考えるとx^2=-1は解を持たないけど、
複素数の世界で考えると解を持つ。それと似てるかもしれない。
944 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 17:14:53 ID:
なるほど。。。
定義上は、言葉上は、納得しました。
945 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 17:22:44 ID:
>>944
どの空間の中で議論が進んでいるのかをよく意識したほうがいい。
つねに実数の全体Rへ埋め込んで議論をすることができるのなら
あるいはそのほうが便宜上よいのならそうすればいいし
似たようなことは後々になっても少なからず出てくるけれども、
いい埋め込みができない状況も出てくるし、そういう外側の情報が
利用できなくて内在的な性質のみを使わないといけないことも多々出てくる。

似たような話ではR^nに埋め込める多様体と埋め込めない多様体とで
異なる手法と共通の手法とがあったりするようなことがあったり、
それらが多様体そのものの性質なのかR^nからくる性質なのかとかを
ちゃんと考えないといけなかったりとか、そういうこともある。
948 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 18:59:30 ID:
>>944
たとえば実数の中で考えてたとして、有限の世界しか知らない俺たちは
どんどん絶対値の大きくなっていくような数列はどんどん無限大に近づいていく
というような気はしても、無限の世界のことはわからないので
それは極限が決まっているのに極限値を持たないと認識するしかなくて
収束とは別の状況になっていると考えるでしょう?
949 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 20:13:32 ID:
>>944
ひょっとしてキミは
収束の定義を知らないんじゃないかい?
950 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 20:25:02 ID:
収束に定義なんてないが…大丈夫か?w
951 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 20:26:48 ID:
>>950 おいおい、2ちゃんやめて2時間ほど教科書嫁
952 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 20:28:30 ID:
もしかして高校生なのか
955 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 20:34:59 ID:
じゃどういう定義なんですか?(笑)
957 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 20:38:45 ID:
>>955 マジレスしますよ?

実数列a_nがαに収束するというのは、任意のε>0に対してあるNが存在し、
すべてのn≧Nに対して |a_n - α|<ε が成立すること
959 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 20:41:42 ID:
>>955
∀ε > 0, ∃N s.t. n ? N ⇒ |a_n ? α| < ε
963 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 21:00:07 ID:
>>957
それって定義じゃなくて論法ですよw
他の方法は知りませんか?
964 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 21:03:02 ID:
とりあえず教科書読んでください
965 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 21:10:23 ID:
>>963
定義です。
971 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 21:32:00 ID:
>>965
定義で異論はないんですが、その論法を実際に適用したことありますか?
数列 Yが
y1 y2 y3 .... y8 ... y9 y10
と続いていたとき、N=9としてy8で収束としました。
そのとき後続に続く(当然生成がy=f[x]なのでf[x9], f[x10]...とできる)
y9 y10... は丸丸数学論法的(論理的)にどういう解釈なんですか?
973 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 21:33:41 ID:
>>971
>N=9としてy8で収束としました。

意味不明
977 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 21:41:54 ID:
>N=9としてy8で収束としました。

これの酷さは「なるほどカルダノですか。」のレベル。
983 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 21:59:48 ID:
>>971
「a_n := 1/n が 0 に収束する」を君の言うその解釈とやらできちんと述べられたら詳しく説明してあげるよ。
985 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 22:03:45 ID:
ここまで読めてないのは初めて見る どういう風にしたらこんなになるんだろう
990 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 22:37:02 ID:
それって収束じゃなくて極限の議論でしょ。 数学なんかも厳密に理解してない実際は適当でいいてことなんだけどね。
991 :132人目の素数さん:2009/10/22(木) 22:48:38 ID:
有限な極限があることを収束というのだがね。

下手な漫才より面白いwwwわざとやってるなら凄いと思う。関連記事: カルダノの解法……?

転載元:分からない問題はここに書いてね322

タグ:2ch

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